国际竞赛系列 | 备战2024年AIME！一文掌握考试重点，赢在起跑线！

在考察内容上，AIME的考察范围与AMC12一致（有些内容AMC10中没有，比如复数，对数），包含代数、几何、排列组合和概率、数论四大部分的内容，涵盖了初高中数学知识，以及竞赛的内容，但AIME难度更高，适合走竞赛路线的学生及竞赛爱好者。具体的考察内容如下。

1. 高次方程韦达定理与高次方程应用

2. 函数不等式与简单抽象函数问题

3. 复数的三角形式变换及复平面几何变换

4. 构造数列及数列与不定方程思想

5. 三角形与圆结合的相似的综合变换

6. 四点共圆及圆幂定理与正弦、余弦定理综合应用

7. 三角形特殊定理（斯德瓦尔特定理、鞋带定理等）

8. 排列组合方法及递归思想的应用

9. 古典概型与几何概型等相关模型

10. 整除与同余思想及数序与进制转换及取整函数

11. 数论的基本定理的综合应用

12. 质因数分解、公倍数与公约数、不定方程求解

从历年真题的内容上看，几何，计数，数论占比较大，要有足够的重视，同时对于备考AMC过程中接触较少的内容比要作一定针对学习。另外对于AMC12涉及但AMC10不涉及的内容，对数，三角函数，复数等，没有学过或接触较少的同学要作针对性的学习。

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AIME前5道类似于AMC12的难度，第六道开始难度增加，蕞后5道题的难度更大，在这种情况下，很多学生可能很难获得满分，平均分也有所下降。近几年，几何题的比例有所下降，而数论和组合题的比例有所增加。例如，2023年AIME I竞赛考了4道几何题、2道代数题、4道组合题和4道数论题，而2022年AIME I竞赛考了6道几何题、5道代数题、2道组合题和1道数论题。

复合型问题涉及多个知识点的结合，例如将不定方程与复数结合、不等式组与集合、计数以及分类讨论结合等。这对考生的知识点掌握和应用能力也提出了更高的要求。

2022年的AIME竞赛出现了一些较为冷门的组合恒等式、图论和椭圆等问题。这提醒备考AIME竞赛的学生，在有余力的情况下可以进行一定的知识拓展，尽量确保熟练掌握竞赛的考点。

根据AIME竞赛历年的分数线数据，可以看出AIME竞赛的平均分数集中在5分左右。这意味着大多数学生在15道题中通常只能正确解答其中的5道题。

AIME考试包含15道填空题，每道题都要解决一个数学问题。AIME的题目难度较高，涵盖代数、几何、组合和数论等多个数学领域每道题只有一个正确答案，答案是0到999之间的整数。

基础知识：确保掌握了中学数学的基础知识，包括代数、几何、数论和组合数学等。

高级知识：深入学习相关的数学理论和技巧，如多项式、三角函数、复数、排列组合和模型运算等。

确定备考周期：计划在AIME考试前至少几个月开始备考，以便有足够的时间进行复习。

制定学习计划：合理安排备考时间，集中精力巩固各个数学领域的概念和技巧。

增加练习量：通过大量的习题提高解题速度和技巧。

利用模拟考试：通过做历年的AIME真题，熟悉考试的形式和难度，提高解题速度和准确性。

纠正错误：仔细检查做错的题目，理解解题的关键步骤和思路，并及时补充知识漏洞。

参加AIME竞赛需要持续的训练和实践，保持积极的学习态度。

很多同学会问，为什么AMC、AIME以及BBO、物理碗等不出官方指南？因为它不是标准化考试，不像TOEFL、SAT、ACT、GRE、GMAT等，有个标准，所以考试可以一年考7次，考试成绩在两年内甚至五年内有效。

从考试的效度来说，要保证这么多次考试都可以比较，当然得有一个共同的标准。所以有些老师会说，这次curve紧了或者松了，其实是不严谨的。根据高级别的统计学书籍中显示的时间序列下如何正态化不同的样本数据来讲，参加竞赛的样本，本来就是有偏的，所以也就难以标化，标化了反而没有意义。这种一年一次的考试，跟高考一样，出现大小年是很正常的。

再说一下关于做题的pace问题。AIME的1~6题是AMC难度的题目，120分以上的同学比较容易解决，但是不要花太多时间，总体上1~6题控制在30分钟~40分钟。第7~10题是过渡题，这个我在点拨（三）里专门讲过，这3道题需要你对知识点有极其深刻的理解以及极其高的熟练程度，特别是排列组合（结合数论或者不定方程）、二项式以及N项式定理（结合不定方程）、韦达定理（结合长除法）、高次方程（结合配方法或者不定方程）、方程组（三元高次方程）、不定方程（齐次与非齐次）、牛顿恒等式（结合三角函数的和差倍半）等等。在7~10题部分，大约花费30~40分钟的时间，千万不要去穷举、大量的分类，除非你的目标分数是8分。

前10道题我的建议是，做一道就检查一道，A4的草稿纸对折，然后把你的计算步骤都写清楚，这样检查起来方便。而且做完之后，用代入法、特殊值法等进行二次检查，保证你做完的题目尽可能的做对。

同时要注意：

① 端点值单独验证；

② 不定方程一定要要画格子，防止漏写；

③ 分类讨论时要不重不漏；

④ 画函数图像时在特殊点上单独标注；

⑤ 看好让你求整数解还是非零解；

当题目做不出来时，你要多想一下：

① 限定条件都用到了吗？有没有隐含的限制条件你没想到？

② 你把文字叙述转化成等式或者不等式了吗？

③ 求最值时有没有把限定条件和目标函数写出来？

④ 几何题目要不要换一种方法？传统几何做不出来，要不要用一下解析几何，或者直接用向量来尝试？

第11~15题，整体难度比较大一些，但是并不是每道题都难度非常大。有的同学擅长数论，有的同学擅长平面几何，有的同学擅长解析几何，有的擅长递归和递推的数列，有的擅长函数，你就从你最擅长的题目开始，保持心情愉悦（虽然很难，但是很重要，千万不要期待拿满分）。能做对几道就做对几道。

AIME的7和8是过渡题型，前6题只能说是给同学们热热身，相当于AMC 19~22的难度，然后AIME 9~15是难题阶段。

在前6题大家的差别不是很大，大家的差别都会集中在后面的10道题。就跟人生一样，人和人的差别在下半场，上半场只要不是无力乏天，下半场仍然有得追。